[Transcription of "Metromaxia", by William Fulke, London, 1578. Short Title Catalog 11444; Early English Text Microfilms Reel 242:12.] [Transcription Note: all metadata is enclosed in square brackets, like this. I have attempted to be as faithful to the original spelling and layout as possible -- line breaks match the original, and punctuation is preserved. Still, mistakes will happen. If you spot a likely typo, please let me know. Since this is text, accent marks are placed after the character that they should be over. Lines over vowels are occasionally expanded to n or m when I am certain of the intent; usually, they are represented by underscores. Multiple versions of letters are distinguished when convenient; hence, i and j are distinguished, as are u and v, but the two versions of s are not so represented, since there's no easy way to do it in ASCII text. There is a bit of greek scattered throughout, which I'm afraid isn't transcribed yet, as I don't know the greek alphabet well enough to do so reliably.] [Title page. All of the below is centered text.] METPOMAXIA SIVE LVDVS GEOMETRICVS Auctore Guilielmo Fulcone Anglo. [Imprint logo, image of an anchor, and the words "ANCHO RASPEL".] LONDINI, Excudebat Thomas Vautrollerius Ty- pographus. 1578. [Page of diagram, showing what appears to be part of the game board setup. We'll scan that in, anon.] [Page 3. Page titles for this section are "EPISTOLA DEDICATORIA".] [Centered:] ILLVSTRISSIMO HEROI AC DOMINO, D. ROBERTO DVDLEIO COMITI LECESTRENSI, BA- roni Denbigensi, clarissimi ordinis Perischelidis equiti au- rato, serenissimae Reginae a` consilijs & equitatu, & summo Oxoniensis Academiae Cancellario. [Italics hereupon:] CUm ante annos aliquot metromaxiar nostra in- dustria perpolitam, in vulgus ederem, fa- ctu'mque apud illustrissimum Cantabrigien- sis Academiae Cancellarium, tribus verbis ex- cusarem, recepi me, modo illud studium bonu doctis.q acceptum foret, si in arte Geometrica similem ludum ludere possemi, periculum aliquando facturum. Et nostris qui- dem hominibus, maxime` Cantabrigiensibus, satis placuit la- bor ille quamuis exiguus, adeo ut ab eius academiae procan- cellario viro summo, ac mihi eruditionis atque humanitatis causa admodum coniuncto, rogatus essem ut inter magna no- uae bibliothecae volumina, quam ille tum magno studio nec nullo sumptu suo exornandam susceperat, triobolarem illum metromaxia[?] libellum, collocandum mitterem. Quin & Lute- tiae Parisiorum, quo paulo post concesseram in comitatu claris- simi comitis Lincolniensis, classis ac orae maritimae praefecti, ac eo tempore serenissimae principis ad Carolum nonum Gal- liae regem amplissimi legati, quem honoris & officij causa eo secutus sum, quum eximios quosdam viros, artium ac lingua- rum scientia maxime` celebratos inuiserem, conueni etiam praecaeteris saepius, Petrum Ramum, ac Guilielmum Postellum. Vtrumque quidem variae ac multiplicis eruditionis gloria praecellentem, illum etiam verae pietatis & reformatae reli- [Page 4.] gionis studio praelucetem, & fidei communis gratia mihi prae- cipue` commendatum. Quorum vterq cum me xeniolis litera- rijs beneuolentiae testificandae causa donaret, atque ego vicis- sim ipsis, cum aliud praestantius non haberem, nostros ludos pro munusculis obtulissem, tantam vtriusque iudicio volun- tatis meae approbationem accepi, vt sola mihi satis fuisset, ad multo maius aliquod audendum, si vires & otium suppete- rent. Sed quid ego haec minutiora persequor? cum praeter gra- uissimum nobilissimi Cecilij iudicium, qui curanomachiam e- ius clarissimo patrocinio commendatam, eo candore ac grati animi significatione suscepit, quo doctos omnes eorumque stu- dia prosequi solet: ipsaetiam potentissima princeps Eliza- betha omnium liberalium disciplinarum excultrix, quasi al- tera Minerva, nug as illas Astronomicas, suo illustrissimo iu- dicio comprobare dignata sit. Illud vero quantum regiae ap- probationis argumentum fuit? quod me etiam auctorem, qui rationem pugnae coelestis demonstrarem, ad clarissimum eius conspectum per D.T. saepius euocare voluerit, & oblatam a` me tabulam lusoriam cum calculis tam benigne` receperit, vt eminentissima ipsius maiestas, quae sola humanitate vinci- tur, insimae sortis homuncioni, amplissimis verbis gratias a- gere non recusauerit. His ego tantis tamque illustrium de mea erga Mathematicas artes voluntate candide` decernentium sententijs, non incitatus, sed obstrictus quodam modo videor, vt etiamsi prius eam publice` non pollicitus fuissem, nunc ta- man metromaxiar qualis qualis est, mathematicorum iudicijs sub- ijcerem. Quod si patronus mihi quaerendus esset, cuius sub tutela recens aeditus hic foetus, a` maleuolorum calumnijs vindicare- tur, nusquam vel benignior vel potentior occurrere potuit, qui_ D.T. (illustrissime Comes) qui & florentissimae academiae Oxoniensis dig nissinus Cancellarius curam geris honorifi- centissimam, & cuie go non modo priuato officio maximisque beneficijs obstrictus, sed ipsa etiam respublica literaria apud [Page 5.] Britannos, multis modis sese obnoxiam obligatamque fatetur. Vt quod de Ptolemaeo Philadelpho, propter egregiam erga musarum cultores munificentiam cecinit Theocritus, in D. T. solo nomine commutato optime` quadrare possit. Lecestren- sis [greek phrase]. Quis enum illi no- tus, alicuius artis scientia claruit, [more greek] ? Quem vero potiu`s quam Lecestrensem [more greek] . Quod cum semper per se sit maxi- mae laudis ac commendationis in viris summis, tum hoc prae- sertim saeculo praelarius est multo ac illustrius, in quo tam pauci reperiuntur, qui [greek] (vt ille inquit) [greek] studeant, ac multo pauciores qui mereantur. Vt vere` in haec tempora eiusdem poetae Eidyllion quod [greek] inscripsit, compositum videripossit, in quo de regum ac principum erga humaniores literas ingratudine conqueritur, & illud a` doctis plerisque vbique fere` locorum iactari queat. [three lines of greek] Sed quo minus huic querimoniae indulgere debeant musa- rum cultores apud Britannos, tua (nobilissime comes) ac claris- simi Cecilij munificentia efficitur, qui tanto fauore vtriusque academiae studia complectimini, quanto nec prior aetas maiore se vsam meminit, nec posterior facile` parem se adopturam sperauerit. Vtinam igitur vestris auspicijs mathematicae ar- tes suam dignitatem in scholis retineant, quam & suo merito & veteri instituto, & iureiurando apud plerosque obtinere debent. Vt si veteris Academiae epigramma [greek] , nostris temporibus minus conuenire videatur: sal- tem huic non absimile nostrarum scholarum vestibulo inscul- pi possit, [greek]. Et mihi sane` propostium fuit in hisce nugis eorum fastidia vincere, qui a` diagrammatis geometricis, non secus ac a` sphyngis quibusdam aenigmatibus [Page 6.] abhorrent. Nam cum laborem omnes fugiamus, ad otium ve- ro` ac lusus plus satis procliues simus, effeci vt in Mathema- tum principijs, quae multos specie difficultatis absterrent, nihil praeter otium & ludos, eorum studiosi agnoscerent. Quod si prima taedia superauerint, & vestrae benignitatis srdus (illu- strissimi heroes) dextrum illis aftulserit, non erit cur semel tantum natos ac mundo exhibitos, Architas Tarentinos aut Archimedes Syracusanos credemus, quorum spiritus Mathe- maticos, absque [greek] Pythagorica, in plurimis nostro aeuo felicissime` reuiuiscere cerneremus. Et ipsa etiam Musica, quam pudet tam erudito hoc saeculo, prae omnibus Mathema- ticis maxime` neglectam iacuisse, pristinum nitorem ac ma- gnificentiam, cognatarum artium instauratione tandem re- sumturam se sperare poterit. Nam cum eam hactenus nemo Arithmeticaeac Geometriae peritissimus excoluerit, nondum ex ignorantiae latebris quibus superioribus saeculis omnes po- litiores scientiae pene`demersae iacuerant, in lucem ac splendo- rem restituta videtur: vt (quod suis etiam temporibus que- stus est in libris de Musica scriptis [?] Aurelius Augustinus) pau- cissimi reperiantur Musici, quantumuis ingens sit cantorum ac fidicinarum vulgus. Quis enum hac aetate Musicis numeris Achillem ab otio & lasciuia in bellum accendere, Saulem maligno spiritu furentem delinire, Elizaeum ira commotio- rem sedatis affectibus ad prophetiam suscipiendam compone- re, tyrannos ad misericordiam flectere, odium inter quos opor- teat serere, alios ad beneuolentiam allicere, tempestiuos lu- ctus adiuuare, non minu`s qua`m immodice` dolentes recreare, timidis audaciam inspirare, male audaces terrore concutere, quis inquam nostro saeculo eorum qui maximo supercilio Mu- sicorum titulis gloriantur, ista cum voluerit polliceri audeat? Vel vt minora persequar, quis Phrygios modos rite` imitabi- tur, aut Lydiam leuitatem Dorica grauitate scite` temperaue- rit? Quid hic memorem tibias dextras ac sinistras, modos pa- [Page 7.] res vel impares? quae isti non magis intelligunt quam quae a- pud AEthiopas geruntur agnoscant. Taceo oratorios nume- ros, & adhibitos etiam ad vocis in dicendo modulationem pho- nascos, quae omnia ex intima ac penitissima Musicae scientiae peritia ac cognitione petenda sunt: ab istis tamen non magis qua`m a pumice aqua, expectari poterunt. Optandum igitur vt Arithmetica & Geometria opem fera_t afflictae Musicae, quod fiet forsitan aliquando, si dum plures harum studia sectantur, aliqui etiam eorum ad Musicam perpoliendam animum adie- cerint. Interim quod nostrae tenuitatis fuit, rudimenta Geo- metriae, quo magis his afficerentur [greek], in lusum ac voluptatem proposuimus, nec iucunditati solu`m ita operam dedimus, vt non vsum etiam artis, tam in Mathematicis figuris, quam in alijs rebus ex communi vita, & bellica praecipue` consuetudine petitis, ostenderemus. De numerorum ac linearum inter se rationibus non tam anxij fuimus, quae ad Theroricen referuntur, quam ad rite` metie_di leges, in quibus Geometriae finis spectatur, sollicite` respeximus. Ex hoc vero` labore tantum abest vt gloriolam quaerum, vt potiu`s gravio- ribus ac sanctioribus studijs initiatum pene`pudeat, intam fri- uolis nugis, ta_tulu_ temporis triuisse, nisi quod otij etiam nostri fructum aliquem ad studiosos transire, non omnino pigeat. A tua vero dominatione cuius clarissimo nomini tam ludicra haec inscribere aggressus sim, non praemium operis, sed veni- am audaciae supplex peto, nec laudem coepti aucupor, sed cul- pam admissi deprecor. Quic quid tamen hac in parte peccatum est, id omne singulari D.T. humanitati, cui confisum me fate- or, imput ari debet. Dominus Iesus te diu Ecclesiae ac reipubli- cae seruet incolumem. [Right justified, non-italic:] Honori tuo deuotissimus in Domino G. Fulco. [Page 9.] METROMACHIA SIVE LVDVS GEOMETRICVS. DE LOCO PVGNAE. LOCVS huic pugnae idoneus talis nobis para_dus est. Area primum tam ad instruendas acies quam ad decer- nendum praelio, quinquaginta duo in longitudine quadrata comprehendat, in latitu- dine triginta tria, qualia solent esse in tabula lu- soria rythmomachiae aut schaccorum. Hic locus satis spaciosus est vtriq; exercitui, non modo ad explicandam aciem, verum etiam ad commit- tendum armatos. Sed vt receptus esse possit v- trisq; copijs post grauem imperatoris cladem, vterq; exercitus habeat a` tergo castra. Locus au- tem castris muniendus, ad sexdecim spacia pro- tendatur. Talis autem sit munitio castrorum. Fossa vel fluuius trium spaciorum latitudine, aream il- lam a` campo in quo acies confligunt dirimat. Porta in medio duobus tantum spacijs pateat. Vltra` fossam quasi praetorium, sit arx triplici mu- ro circundata. A fossa ad murum sit quinque spa- ciorum distantia. Primus hic murus intra sui am- bitum quadraginta nouem spacia comprehen- [Page 10.] dat. Murus proximus viginti quinque, tertius nouem, arx ipsa vel specula vnicum. Primus mu- rus habeat dispositas in quatuor angulis totide_ turres, & inter duas anteriores portam turritam, harum omnium altitudo sit vt quatuor. Secun- dus murus in medio cuiusq; lateris, turrim oste_- tet, cuius altitudo sit vt octo. Tertio muro in duobus angulis diametraliter oppositis, duae tur- res imminea_t, quarum altitudo sit vt duodecim, in medio ipsa specula assurgat ad altitudinem sexdecim. Numeri turribus inscripti, memoriam adiuuabunt. Hoc tamen imprimis obseruandum est in huius arcis structura, quod turres omnes & ipsa porta turrita, mobiles fabricari debeant, vt cum hostium machinis bombardicis percussae aut incensae fuerint, e` loco, et omnino e` tabula moueri possint. Locus earum vacuus nisi popu- larium suorum corporibus oppositis defenda- tur, hostibus castra oppugnantibus praebeat in- gressum. Quo plures igitur vi tormentorum de- iectae fuerint, eo facilius, etiam sine scalis, post praelio exactos hostes, castra capientur. Nec e- nim prius in hoc certamine debellatum cense- mus, qua`m castra omnibus praesidijs nudata, in aduersariorum potestatem venerint. Haec licet per se satis perspicua sint eruditis, tamen vt ha- [Page 11.] beant artifices, quibus tabulae ad ludicrum hoc ornandae negotium dabitur, exemplar quod i- mite_tur, vniuersam ta`m campi qua`m castrorum & instructi exercitus formam adie`cta ad libri fi- nem pictura expressimus. DE APPARATV BELLICO. Bellicum apparatum in legiones & impedi- menta partimur. Et quanquam ordo postu- lare videtur, vt de legionibus prius dica- mus, aliter tamen huius mititiae ratio exigit, vt de impedimentis primo loco disseramus. Impe- dimenta vocamus machinas, pontes, scalas. Ho- rum idcirco prior debet esse tractatio, quia quod est in geometria primum, lineae tantum vsus in his spectari solet. Machinae enim horrisonae, quas vulgo` bombardas vocant, per illam trianguli li- neam quae hypotenusa dicitur, ignem aut lapi- des eiaculantur. Pons noster latitudinem solu_- modo fossae aut fluuij metitur. Scio ad flumina pontibus celeriter iungenda, multiplices requi- ri geometricorum schematum species: sed illas vt magni & praeclari operis, ita nostro instituto parum conuenientes iudicamus, qui ludum non laborem docendum suscepimus. Scalas etiam ad solam turrium altitudinem [Page 12.] aequandam, in castris oppugnandis adhibemus. Quanquam machinas quarum tanta ad nocen- dum vis sit & velocitas, ne solae nimium mome_- ti ad victoriam conferendam habere videan- tur, tales efformauimus, vt ab aduersarijs obsi- deri aut etiam capi possint. Sunt enim Colu_nae, sed quae bases habeant diuersas. Harum dimen- sionem qui valeat assequi, captiuas machinas e` sedibus trahet in exilium. Verum ne incertis aut pluribus qua`m par est ad arbitrium cuiusq; congestis impedimentis vti liceat, statuendus est horum omnium numerus quem neuter ex- excitus transcendere debeat. Sint igitur octo Machinae bombardicae, exhijs quatuor solas tur- rium sublimitates, qua_ possint rapidissimo cursu, & violentissimo ictu deijciant. Discrimen ac no- mina sortiantur a` numeris, vt olim legiones Ro- manae, quinta, sexta, vicesima, diceba_tur. Sic ha- ru_ prima cuius hypotenusa in quinario numero finitur quinta appelletur, & quinarium numeru_ inscriptum gerat. Secunda cuius hypotenusa cu_ maxima violentia ad decimum numerum ex- currit, decima vocetur, & denarij nota insignia- tur. Tertia cuius summa vis ad decimu_quintum spacium prote_ditur, decima quinta nuncupetur, sitq; eo numero insculpto notabilis. Quarta [Page 13.] quae ad viginti spacia sursum obliquo iactu fe- riat vicesimae nomen obtineto, nec no_ eiusdem numeri signo a` caeteris distinguatur. Reliquae quatuor machinae non vt priores qua- rum impetus opposita turris altitudine vbi vis est intensissima franguntur, sed eo vsq; per hypo- tenusae vt appella_t lineam, globu_ piceum ad in- cendendum, aut lapidem ad demoliendum ali- quid eiaculantur, dum vi illa deficiente, ignis aut moles in locum subiectum, incendio aut destru- ctioni destinatum cadat. Fateor quidem veras machinas a` punctis istis geometricis nonnihil aberrare, propter Physi- cas quasdam de motus intentione ac remissione rationes, talis aute_ aberratio a` peritis Vulcaniae huius officinae artificibus, per obseruationem suarum machinarum facile` corrigitur, resque eo modo fere` ad [greek] mathematicam studio ac industria perducitur. Quatuor istarum nomina, ad rationem priorum imposita sunt: vicesima, vicesima quinta, tricesima, tricesima quinta, qua- ru_ nempe hypotenusa sit vt viginti, viginti quin- que, triginta & triginta quinque. Et hae habeant numerum singulae suum inscriptum. Sed quia columnae etiam rationem machinas istas haberediximus vt capi aut obsideri possint: [Page 14.] opus est vt eius formam & compositionem ex- plicemus. Erit igitur longitudo machinae vt sex- decim, basis maior vt duodecim, minor vt octo. Vnam enim omnium columnarem formam, vna mensura complectimur, ne si singulis pro magnitudine aliam atq; aliam mensuram ascri- beremus, nimis difficilis esset earum intercep- tio, quarum facillima est ad damnum infligen- dum praeparatio. Asseres ad pontes exaedificandos sint etiam octo. His numerum nullum inscribi placet, non enim pro geometricis figuris, sed pro materia quae omnibus fere` locis parabilis est, eos habe- mus. Capi tamen possunt, si intercipiantur mi- lites, qui lignatum profecti eos deferunt. Scalae tot erunt quot sunt gradus altitudinis inarce castrorum, nempe quatuor, nec capientur omnino, quamuis admoueantur a` militibus, ne expugnatio in nimis longu_ tempus extrahatur. Locus tamen occupari potest, in quo erigendae sunt, ille nimirum, cuius tanta est a` fundamento turris distantia, quanta est scalae longitudo, dua- bus quintis detractis. Haec est enim temperata graduum in admouendis scalis libratio, ad arith- meticam illam Pythagorae hecatombe celebra- tam proportionem respondens. Sic ad murum [Page 15.] quatuor spatiorum altitudine, scala quinq; lo_gi- tudine, trium distantia admouetur. Ad murum octo, scala decem, distantia sex. Ad murum duo- decim, scala quindecim, distantia noue_. Ad tur- rim sexdecim, scala viginti, distantia duodecim. Et de impedimentis alijsq; munitionibus ista sufficiant, nunc de exercitu dicamus. Imperator in vtroq; agmine, omnium suffragio electus erit Globus, cuius & maxima est capacitas, & figura perfectissima. Imperator habeat legiones distin- ctas in pedestres & equestres copias. Pedites sint illae geometrarum figurae, quae sola constant superficie. Equitum similitudinem praebent so- lida illa corpora, quae triplici dimensione con- stant, secundum longum, latum, & profundum. In hijs principem locum tenent tanquam agmi- num duces, quinque illa [greek] a` Pytha- gora, vt vetus habet epigramma, atq; a` Platone plurimum celebrata: Tetraedron, Hexaedron, Octaedron, Dodecaedron, Icosaedron, ad quae propter certam laterum suoru_ inter se, ad sphae- rae complectentis vel inscriptae rationem, tota illa sapientissima Euclidis Platonici [greek] re- fertur. Deinde pedites ipsi, in suos ordines distribu- untur, pro ratione formarum Geometricarum. [Page 16.] Sunt enim aliae figurae simplices, aliae composi- tae. Simplices quae ex solis lineis rectis, vel ex so- lis curuis constituuntur. Mixtae quae ex rectis & curuis componuntur. Inter simplices figuras quae rectis constant lineis, primus censetur triangulus. Nullum enim spacium nisi tribus ad minimum lineis rectis claudi potest. Triangulorum differentias faciunt latera, & anguli, ex quibus septe_ omnino species crea_tur. Orthogonij tres. Nempe Isopleuros, cuius tria sunt aequalia latera. Iscosceles, cuius duo sunt aequalia crura. Scalenus, cuius tria latera sunt inaequalia. Rursus Amblygonius habet Isoschelen & Sca- lenum, similiter & Orthogonius. Sequitur Quadrangulorum turma quae qua- tuor constat ordinibus. Quadrato, cuius quatuor sunt latera aequalia, omnes anguli recti. Altera parte longiore, cuius anguli quidem recti, sed opposita tantum latera aequalia. Rhombo qui est quadrati quaedam inflexio in vtramuis partem. Demum Rhomboide, ita se habente ad Altera parte longiorem, vt Rhombus ad quadratum. [Page 17.] Vltimum locum tenent multilaterae figurae Pentagonus, Hexagonus, Heptagonus, Octo- gonus, de quibus aliqua licet rara de nonnullis mentio est apud geometras. Postremo` ne in infinitum se effundat for- marum multiplicatio, terminos claudet Poly- gonus. Non tam ferax reperitur linea curua, quae cir- culum tantum ex se sola parit, sed omnium ta- men figurarum pulcherrimam. Constituuntur etiam & aliae formae, sed ex circuli segmentis co_- pactae, e` quibus tamen nos solum Rho_bum cur- uilineum assumemus, cuius aliqua, nec contem- nenda quidem vtilitas est in Geometria. Ex rectis & curuis componuntur semicircu- lus, & arcus. Ita omnis peditatus 20. ordinibus constat. Eadem fere` ratione distribuuntur equestres copiae, sed illa corpora quae rectis mensurantur lineis, in prismata sive columnas & pyramides eiusdem altitudinis dirimuntur. Triangulus Isopleuros, ex cuius trina poten- tia, tres principes emergu_t, nempe Tetraedron, Octaedron, & Icosaedron, dabit etiam prisma triangulare, & pyramides duas, alteram Icosae- dro, alteram Octaedro inseruientem. [Page 18.] Quadratus, cuius vnica est in seipso potentia ad cubum siue Hexaedron procreandum, habet etiam pyramidem cubi altitudini responden- tem. Altera parte longior quadratus parit colum- mam & pyramidem, quarum basis est altera par- te longior quadratus. Rhombus item basis erit Rhombo cubico, co- lumnae, & pyramidi, similiter & Rhomboides. Pentagonus praeter Dodecaedron producit etiam columnam & pyramidem. Reliquae plurium laterum figurae, singulae suam columnam & pyramidem sustinebunt. Ex lineis curuis praeter sphaeram, constituentur corpora, Cylindrus, Conus, Rhombus oualis, Rhombus rotundus. Ita sex & viginti equitum ordines erunt praeter imperatorem, & quinque duces praecipuos. Habito iam delectu impera- torum ac militum, explicandae sunt copiae per suas cohortes, centurias, & manipulos. Primoq; loco occurrunt trianguli quasi leuis armaturae pedites. Isopleuros, cuius tria latera, vno numero duo- denario clauduntur, Area vero` integro numero non potest assignari, est tamen radix numeri 3888. quae est [Inset with above paragraph: equilateral triangle with "62 44/125" on it.] [Page 19.] Oxygonius Isoscheles, cuius basis 12. cathetus etiam 12. superficies [Inset: isoceles triangle with "72" on it.] Scalenus eiusdem generis, cuius ba- sis 14. Cathetus 8. area [Inset: more or less equilateral triangle with "56".] Sequitur Amblygonius Isoscheles, cuius basis 32. cathetus 12. crura 20. superficies [Inset: obtuse triangle with "192".] Scalenus eius generis basim habet 21. cathetum 8. aream [Inset: slightly obtuse triangle with "84".] Vltimo loco se offerunt trianguli Or- thogonij e` quibus Isoscheles habet cru- ra aequalia longitudinis 8. aream [Inset: right triangle with "32".] Scalenus vero` cathetum 7. basim 14. aream [Inset: right triangle with "49".] Mox sese ingerunt quadrangulorum ordines. Horum primus Quadratus, cuius singula latera sunt 15. area [Inset: square with "225".] Secundus altera parte longior, cu- ius longitudo 60. latitudo 36. area [Inset: rectangle with "2160".] Tertius Rhombus, cuius quatuor aequa- les lineae sunt 10. perpendicularis trans- uersa 9. area vero` [Inset: Rhombus with "90".] Postremo Rhomboides habet lon- giora latera 10. perpe_diculare_ 7. area_ [Inset: Rhombus with "70".] [Page 20.] Agmen hoc claudunt formae multo- rum laterum vt Pentagonus, cuius late- ra quinq; sunt 4 2/3 area [Inset: Pentagon with "38".] Hexagonus, cuius sex latera sunt 16. cathetus 14. area [Inset: Hexagon with "672".] Heptagonus, cuius latera septena sunt vt 12. cathetus 9. area [Inset: Septagon with "378".] Octogonus, cuius octo latera sunt 10. cathetus 12. area [Inset: Octogon with "480".] Polygonus viginti laterum quo- rum vnum quodque est 6. partium, cathetus 19 area [Inset: nearly circular polygon with "1140".] Sequu_tur iam formae quae ex curuis constant lineis, e` quibus locus non immerito` dabitur circulo, cuius diameter est partium 42. circumferen- tia 132. area [Inset: circle with "1386".] Rhombus curuilineus chordam habet 20. Peripheriam 22. aream. [Inset: round shape with "220".] Hinc semicirculus constans dia- metro 14. circulari linea 22. area [Inset: semicircle with "77".] [Page 21.] Vltimo arcus, cuius chorda est partium 20. circularis lineae seg- mentum 22. area [Inset: partial circle with "110".] Equester ordo constat solidis corporibus, quorum nomina & dimensiones sequuntur Prisma triangulare habet basim 15 18/31 altitudinem 5. capacitatem [Inset: tent-shaped object with "77 28/31"] Pyramis eiusdem basis & altitu- dinis Icosaedro conuenies comple- ctitur [Inset: pyramid with "25 30/31".] Pyramis basi Octaedri 15 18/31. latere 6. altitudine 2 1/5. capit [Inset: pyramid with "11 66/155".] Pyramis basi 225. altitudine 15. continet [Inset: pyramid with "1125".] Columna basi quadrangula 2160. altitudine 40. capacitate [Inset: rectangular colum with "86400".] Eiusdem basis & altitudinis pyramis capacitate [Inset: pyramid with "28800".] [Page 22.] Rhombus cubicus, cuius basis 90. altitudo 10. capacitas [Inset: rhombus prism with "900".] Rhombi pyramis eiusdem basis & al- titudinis gaeodesia [Inset: pyramid with "300".] Columna basi Rhombi altitudinis 60. Capacite [Inset: prism with "5400".] Rhomboides cubicus, cuius ba- sis 70. altitudo 21. soliditas [Inset: Rhomboid prism with "1470".] Eiusdem basis & altitudinis pyramis complectitur [Inset: pyramid with "490".] Columna basi Rhomboidis 70. alti- tudinis 36. capacitate [Inset: Rhomboid column with "2520".] [Page 23.] Columnae quinque laterum basis 38. altitudo 5. tota capacitas [Inset: pentagonal column with "190".] Eiusdem basis ac altitudinis pyra- mis est partium [Inset: pentagonal pyramid with "63 1/3".] Columnae sex laterum basis 672. altitudo 48. tota capacitas [Inset: hexagonal column with "32256".] Eiusdem basis ac altitudinis pyra- mis habet partes [Inset: hexagonal pyramid with "10752".] Columnae septem laterum basis 378. altitudo 42. tota capacitas [Inset: septagonal column with "45876".] [Page 24.] Eiusdem basis ac altitudinis pyra- mis continet partes [Inset: septagonal pyramid with "5292".] Octo laterum columna basim ha- bet 480. altitudine_ 36. capacitatem [Inset: octagonal column with "14400".] Eiusdem basis ac altitudinis pyra- mis continet partes [Inset: octagonal pyramid with "4800".] Columna polygonia, cuius ba- sis 1140. altitudo 60. complectitur [Inset: polygonal column with "68400".] [Page 25.] Eiusdem basis ac altitudinis py- ramis habet [Inset: polygonal pyramid with "22800".] Cylindrus basim habet 1386. alti- tudinem 48. capacitatem [Inset: cylinder with "66528".] Conus eiusdem basis & altitudinis capit [Inset: cone with "22176".] Rhombus curuilineus ex duobus conis conflatus capit [Inset: a sort of double-cone with "44352".] Rhombus oualis duplus est ad rotundum, cuius gaeodaesia [Inset: an oval with "88704".] [Page 26.] Explicatis iam omnibus militum ordinibus sequuntur duces, & primo loco impera- tor ipse Globus, cuius diame- ter 42. area maximi circuli 1386. tota sphaerae capacitas [Inset: sphere with "38808".] Tetraedron, cuius latus 12 basis 62 44/125 altitudo 9 15/19 capa- citas, 203 1103/2375 [Inset: tetrahedron with "293 1103/2375".] Hexaedron siue cubus, cu- ius latus 15. basis 225. solidum [Inset: cube with "3375".] Octaedron, cuius latus 6. basis 15 18/31 capacitas, 91 63/155 [Inset: octahedron with "91 63/155".] Dodecaedron, cuius ba- sis est ferme` 38. capacitas vero` [Inset: dodecahedron with "760".] [Page 27.] Icosaedron, cuius basis vna 15 18/31 altitudo fere` 10. capaci- tas, 519 11/31 [Inset: icosahedron with "519 11/31".] DE ORDINANDO EXERCITV. Machinae disponantur suis locis ante exer- citum. Nempe spacio a fossa sexto, a` dex- tro campi latere nono, collocetur machi- na, quam quintae appellatione insigniuimus. Eo- dem a` fossa spacio a` latere septimo, alterius ge- neris machina ponatur, quae vigesima dicitur. Huic interposito spacio vnico adhaereat prioris generis vigesima. Altero vero` interposito spacio adiungatur posterioris formae tricesima quinta. Eodem ordine ad laeuum cornu disponantur machinae, decima, vicesima quinta, decima quin- ta, trigesima, spacio videlicet a` fossa sexto a` late- re sinistro nono, septimo, quinto, tertio. Simili ratione peditum agmen quinta a` fossa statione ordinetur. Sic vt triangulus Isopleuros occupet decimem a` dextro latere spacium. [Page 28.] Isoscheles Oxygonius octauum, Scalenus eiusdem generis sextum, Amblygonius Isoscheles quartum, Scalenus Amblygonius secundum, Sinistrum cornu spacio a` latere decimo tuebitur Quadratus, Octauo Orthogonius Isoscheles, Sexto Scalenus Rectangulus, Quarto Quadrangulum altera parte longius, Secundo Rhombus, Alterum agmen in eodem cornu constituent quarto a` fossa stadio a` latere nono, Rhombus curuilineus, Septimo Rhomboides, Quinto Pentagonus, Tertio Hexagonus, Primo Semicirculus. Dextrum vero` cornu claudent eodem ordine & spacio, Circulus, Heptagonus, Octogonus, Polygonus, & Arcus. Materia sterne_dis po_tibus idonea tertio a` fossa stadio, eo ordine quo machinae collocari debet [Page 29.] Scalae altero a` fosso spacio, octauum & secun- dum ab vtroq; latere locum occupent. Quarto vero` & sexto farinae dolia colloce_tur. Inter vtrumq; peditum cornu militent eque- stres copiae, & primum ordines ducant tribuni. Tetraedron quinto a` fossa, tertio ab Isopleuro spacio hostem expectet. Huic, interposito tamen spacio astet Dodecaedron, Deinde Icosaedron, Hexaedron_, eode_ ordine seruato colloce_tur. Post Duces siue Tribunos spacio a` fossa quar- to, a` dextro campi latere vndecimo, ponatur Pyramis triangularis. Eadem a` fossa distantia, spacio a` latere dextro decimo tertio, Prisma triangulare, Loco decimo quinto, Pyramis Octaedri, Decimo septimo Columna Rhombi, Decimo nono Conus, Vicesimo primo Columna Quadrangularis, Vicesimo tertio Pyramis Quadrangularis. Secundum agmen tertio a` fossa spacio a` de- xtro latere habet Duodecimo loco Rhombi pyramidem, Decimo quarto Rhomboidem cubicum, Decimo sexto Rhombum oualem, [Page 30.] Decimo octauo Rhombum rotundum, Vicesimo Rhombum cubicum, Vicesimo secundo Pyramidem Quadrati. Huius etiam ordinis decimo septimo stabit Imperator Globus. Tertium agmen altero a` fossa spacio, a` latere Vndecimo, habet columnam basi Romboidis, Decimo tertio Pyramidem Rhomboidis, Decimo quinto columnam Pentagoniam, Decimo septimo Cylindrum, Decimo nono columnam Hexagoniam, Vicesimo primo Pyramidem pentagoniam, Vicesimo tertio columnam Heptagoniam. Vltimum agmen fossae proximum habet eis- dem locis quibus secundum, Pyramidem Hexagoniam, Columnam Octogoniam, Heptagoniam & } } Pyramides. Octogoniam, } Columam Polygoniam, Pyramidem Polygoniam. DE VARIO MILITVM PROGRESSV. Perdites omnes dum in praelium progrediun- tur, in proximum sibi locum feru_tur, equites vnum transiliunt spaciu_, in fuga vero` pedites [Page 31.] secundum a` se spacium cursu petunt, equites duo spacia transmittunt. Machinae vnico tantum spa- cio moue_tur, nec in fuga retrahi possunt, reliqua impedimenta eo motu feruntur, quo milites a` quibus portantur. Trianguli & quae basim habe_t triangularem, solummodo ad angulos locorum procedunt. Quadrangulares figurae omnes, ad lineas rectas, tam a` latere, quam a` fronte progre- diuntur. Imperator Globus vndiq; per lineas vel angulos quaq; versum illi libitum fuerit proce- dere potest, vel etiam recedere, modo non vltra` tria spacia tra_scurrat. Nec tamen impeditur quo minus in proximum, secundum, aut tertium a` se locum si malit, commigret. Caeteri duces ad ter- tium vsq; a` loco in quo co_sistunt spaciu_ proferre gressum possunt, sic tamen vt liberum sit eis si co_- modum videbitur, proximum aut secundum lo- cum capescere. Reliquae multoru_ laterum & anguloru_ figurae ad lineam recta_, & angulos vtrinq; a` fronte, pro arbitrio & loci commoditate mouentur. Super- sunt formae quae curuis constant lineis, hae vero`, non tantum ad rectam & angulos a fro_te, sed ad latera etiam feruntur. Nec tamen nisi fugienti- bus, retro` pedem ferre licet. Machinae vel ad latus dextrum aut sinistrum, [Page 32.] vel rectam a` fronte lineam protruduntur. Nulli omnium in fugam se conijcere licet, quamdiu stat incolumis in acie imperator. Illo demum vel capto vel interempto, reuocante aliquo ex ducibus, receptum habent in castra milites, vbi fossae transitum ponticulo ligneo co_- iunxerint. Cum vero` copias suas, quot satis esse putant ad defendenda castra transmiserint, pon- tem a` tergo interscindant, ne hostibus etiam pa- teat facilis Castrorum oppognatio, nisi militum corporibus transitum prohibere se posse confi- dant. Verum vt constet cui sit post imperatoris cla- dem reuocandi potestas, designamus Icosaedro_ si supersit, sin minus Dodecaedron, vel si vtrum- que ducem hostilis ensis absumpserit Octoedro_, aut eo desiderato cubum, vel si ne hic quidem euaserit, Tetraedron imperatori succedere. Quod si de ducibus ne vnus quidem supersit, qui dissipatas suorum copias colligat: quisquis ex omni equitum numero, primus post impera- torem captum sese loco mouerit, eum ducem renunciamus, ad exercitus reliquias cogendum, siue praelio vltra` decernere, siue receptu in ca- stra salutem quaerere malit. Huic si in praelio oc- cumbat, alium simili ratione substitui volumus, [Page 33.] si in fuga neminem. Qui mortuo imperatore successor declaratus fuerit, eodem per omnia progrediendi iure vtetur, quo Imperator, tan- tum ne tergum vnquam hosti obuertat, quod si faciat, receptus signum ac reuocationem a` bello milites agnoscent. Qui ponte interrupto a` castris exclusi sunt, cum aduersarijs qui in acie sunt, quantum illis vires suppetant confligant. Si Imperatorem ce- perint, dimidium victoriae hostibus eripient, si statiua inimicorum castra priores occupent, so- lidam victoriam adipiscuntur, & praemia dupli- cia sibi promerentur. Est & hoc tenendum, omnes in progressu praeter Imperatorem, vacua tantum spacia trans- mittere: In fuga vero`, modo in locum vacuum se recipiant, non referre quos cursu transiliant. Porro fugientibus non alibi quam per castro- rum portam sit receptus: qui vero` castra oppug- nant, quocunq; loco, si interruptus sit pons, qui ad portam factus erat, aliu_ sibi reficere possunt. DE PRAELIO. Vatuor sunt pugnae genera, quibus ca- piantur aut interficiantur hostes. Nem- pe dum torme_tis verbera_tur, aut AEqua- [Page 34.] litate decernendi loco pelluntur, aut obsidione tenentur, aut postremo dimensione capiuntur. Si tormentorum fulmine, turres verberare li- bet, & proposueris tibi portam arcis praetoriae, aut turrium aliquam eius mari qui totam arcem cingit euertendam: Quia harum omnium altitu- do est 4. spaciorum, promoue machinam illam quae quinta vocatur, in quartum a` fundamento turris spacium, sic vt tria pateant loca inter tor- mentum & fundamentum. Hoc enim loco posi- tum tormentum, si displodatur, ferit fastigium quod quatuor spatijs assurgit a` solo. Ad prosternendas secundi muri turres, quae sunt octo altitudine, protrude Decimam, donec septimo a` turri spacio constiterit, & sex inter eam & fundamentum spacia relinquantur. Cum tertij muri propugnacula demoliri cu- pias, quoru_ colume_ asce_dit ad duodecim spacia, Decimaquinta propellenda est in decimu_ a` pro- pugnaculi solo locu_, ita vt interiacea_t loca noue_. Speculae fastigium quod sexdecim specijs at- tollitur a` terra si deijcere volueris, vtere Vicesi- ma, quam si constitueris decimo tertio loco, eru_t intermedia spacia duodecim. Si incendium aut faces siue in turrem, siue in aliquem hostium inferri placet, altero tormen- [Page 35.] torum genere id fieri oportet. Ex hijs vigesima incendit spacijs a` se duodecim positum aduersa- rium aut propugnaculum deturbat. Vigesima quinta quicquid locis a` se quinde- cim distat, inflammat aut percutit. Trigesima interiectis spacijs decem & octo incendium facit. Trigesima quinta interpositis spacijs viginti & vno comburit ac co_minuit in quodcu_q; emis- sus tormento Globus igneus aut lapis inciderit. Haec autem omnia geometrica ratione trian- guli constare, nouerunt eius artis vel mediocri- ter periti. Mihi vero` propositu_ est ex dimetiendi legibus ea sumere in vsum huius ludi, quae sunt facillima, eos etiam qui rationes quaerunt, ad ip- sos scientiae vberrimos fontes remittere. Scripsimus in primo capite vnicum esse om- nium tormentorum mensuram, nempe longitu- dinem decem & sex, basim maiorem duodecim, minorem vero` octo. Nunc si tormentum hosti eripere velis, id non sine aliquo sudore consequi poteris. Nam prius quaerenda est latitudo quae proportionem comparationemq; habeat ad v- tranq; basim aequalem, ad hunc modum. Admouea_tur tres figurae quae distent singulae a tormento duobus spacijs. Harum prima habebit [Page 36.] in se quaternarium numerum, quo distat maior latitudo a` minore. Secunda denario insignis erit, haec est maior latitudo detracta tamen me- dietate differentiae, tertia nouenarium contine- bit, hic numerus prouenit ex additione denarij qui acceptus est e` maiore basi & octonario, qui erit minor basis, illius numeri dimidium. Hanc igitur mediam latitudinem quae est nouem par- tium, cum assecutus fueris, poteris deinde vt li- bet, & vt commodum erit, ipsum tormentum dimensione capere, si admoueris ad duorum spaciorum distantiam figuram vnam quae nu- merum habet longitudini respondentem, hoc est 16. & alterum in qua sit numerus mediae la- titudini 9. aequalis. Horum numerorum alterin alterum ductus, procreat 144. quae est tota ma- chinae capacitas. Vbi vnum saltem ex omnibus tormentis tan- ta industria coeperis, reliquas multo facilius in potestatem tuam redegeris. Nam inuentam se- mel mediam latitudinem non quaeres iterum. Praeterea cum pauciores sint figurae quae nume- ros 16. & 9. ostendant, hoc vti licet compen- dio, vt si duas figuras admoueas in quibus sint numeri ex quorum ductu in se, integer tormenti numerus qui est 144. producatur, satis erit ad ip- [Page 37.] sum capiendum, vt si bis 12. aut quater 36. quae eundem numerum constituunt, duobus interpo- sitis spaciis ad tormentum surripiendum acces- serint. Praeterea si duo numeri sint, qui additi to- tam summam procreant, vt 132. & 12, machina_ comprehensam auferent, idem faciunt 84. & 60. Ac de tormentorum vi & eorum capiendorum ratione ista sufficiant. Nunc de aequalitate de- cernendi pauca dicamus. AEqualitate decernen- di siue pedites siue equites, non solum offensio- nem vitant, sed etiam aduersarios e` suis statio- nibus pulsos, in potestatem redigunt. Haec au- tem aequalitas talis est. Cum figura aliqua geo- metrica eiusdem generis figurae ex hostium acie occurrerit, ita vt in eius locum legitimo motu prouehi possit, ea depulsa victrix locum occu- pabit. Hac ratione, Triangulus, Triangulum, I- sopleuros Isopleuron, Quadratus Quadratum, Cubus Cubum, Globus Globum, Colu_na Co- lumnam, Pyramis Pyramidem eiusdem formae ac mensurae detrudet auferetq;. Facilis est haec decernendi ratio, sed victoria minus gloriosa. Proximus est obsidendi labor. Eius duo sunt ge- nera. Alterum est viae militaris obsessio, cum a- ditus sic occupantur ab aduersarijs, vt se loco mouere miles non possit, aut machina sic mi- [Page 38.] litibus proxima quaeq; loca circumsidentibus se- pta tenetur, vt vltra promoueri aut displodi ne- queat. Quicquid hoc modo circumsessum est, obsidionis periculis liberatur, si capiatur aut lo- co sponte cedat, militum aliquis, qui viam ob- struebat. Hoc igitur labore cingi aduersarius potest, & quasi vallo aut fossa septus teneri ne noceat, capi vero` aut interfici non potest. Alte- rum obsidionis genus est, quo capiuntur quidem obsessi, quanquam non eodem modo omnes, vt nec omnes obsidione premi possunt. Ex peditum copijs qui obsessione oppugnari pos- sunt hac lege capiuntur, si cingantur a` duobus militibus in quibus sint numeri, quorum vel additione, vel alterius in alterum ductu, proue- nit numerus aequalis perimetriae eius figurae quam miles obsessus gerit. Distantia horum ab obsesso tanta erit, vt in obsessi locum si va- cuus esset, vterque obsidentium vnico passu progredi posset. Hac calamitate oppressus, non statim capietur quanquam se mouere loco non possit, nisi admonitus fortunae suae duabus pro- gressionibus frustra` tentata liberatione praeda sit hosti. Quod si vno aut altero progressu, al- terum ex hostibus, vel ceperit, vel in fugam ege- rit: metu obsidionis illico liberatur. In has [Page 39.] angustias detrudi possunt, Triangulus Isopleu- ros, cuius perimetria 36. sex in sex ductu ae- quatur. Quadratus, cuius perimetria 60. ductu sex in decem exaequatur. Rhombus, cuius perimetria 40. duobus vi- cenarijs aequalis est. Hexagonus, cuius perimetria 96. par est duo- bus numeris 48. & 48. Heptagonus, cuius perimetria 84. per 42. & 42. aequatur. Octogonus, cuius perimetria 80. ex 40. & 40. simul additis assurgit. Polygonus, cuius perimetrian 120. confici- unt addita bis. 60. Circulus, cuius circumferentia 132. ex ductu 22. in sex conflatur. Rhombus curuilineus perimetrian habet 44. quam aequant bis.22. His exemplis satis doceri potest, quam addi- tionem numero[ru_ written in] in hoc negotio probamus, nimi- rum eam tantam quae ex duobus constat dimi- dijs in vnum iunctis. Reijcimus vero` aliam com- positionem ex numeris inaequaliter diuisis coa- ctam, quantumuis eam in machinarum solidis capiendis admisimus. Ductu_ vero` vnius numeri [Page 40.] in alterum ex quo prouenerit perimetriae nu- merus aequalis nullum prorsus reprobamus. Cinguntur obsidione ex equestri ordine Glo- bus ipse, cum totam eius superficiem metiuntur numerus quaternarius & circulus, maximo sphae- rae circulo aequalis. Vel cum latera eius clau- dunt, circumferentia circumferentiae sphaericae, & linea diametro sphaerae aequalis. Nam ex al- terius horum in alterum ductu, procreatur Glo- bi superficies. Icosaedron obsidione premunt Isopleuros aequalis vni laterum, & numerus vicenarius. Dodecaedron Pentagonus vni laterum ae- qualis, & duodenarius numerus. Octaedron Isopleuros vni laterum aequalis & octonarius numerus. Cubum superficies quadrati, & numerus se- narius. Tetraedron Isopleuros triangulus basi eius aequalis, & numerus quaternarius. Cum Isopleuron toties repeto, non solum vnicam illam triangularem superficiem quae est inter pedites intelligo, sed vbicunque eadum superficies reperiatur: puta in Icosaedro, Pyra- mide, vel columnae basi. Idem sentio de reliquis, quadrato, pentagono, vbicu_q; eorum superficies [Page 41.] potest in columna vel pyramide. Cylindrus obsidetur, si admoueatur numerus aequalis circumferentiae, & alius altitudini par, ac tertius qui basim aequat. Ad reliqua corpora obsidenda, vel quia plu- res requiruntur superficies, vel quia numeri non reperiuntur, ex quibus eorum superficies con- flari queant, obsessione capi non possunt. Conuertamus nos igitur ad vltimam & om- nium praestantissimam capiendi rationem, quae dimensione constat. Haec quia magis propria est geometriae, maiore etiam laude digna cen- setur in hoc ludo. Capiuntur dimensione omnes siue milites, siue duces, siue Imperator ipse. Sed vt varia est diuersarum formarum mensura, ita alijs atq; alijs modis eam capere instituemus. Trianguli Isopleuri peculiaris est ratio quia eius area integro numero assignari non potest: quare vt capiatur Isopleuros, accedant numeri senarius & 36. ad decimum nonum a` triangulo spacium, sic vt decem & octo spacia interiaceant vacua. Nam decem & octo sunt dimidium pe- rimetriae, at ex ductu 6. in 36. numerus 316. as- surgit, & cuius multiplicatu in decem & octo prouenit numerus 3888. cuius radix est area [Page 42.] Isopleuri. Sed reliqua triangula magis expedita erit ca- piendi ratio. Admoueatur linea aequalis catheto siue perpendiculari lineae, ad distantiam tot spa- ciorum, quot aequant dimidium numeri basis. Aut linea basi aequalis ad distantiam dimidiae perpendicularis, nec refert vtrum per angulos an per lineas, distantiam obserues. Sic Oxigonium Isoschelen duodenarius ca- piet interiectu sex spaciorum, vel senarius duo- decim spaciorum interpositu. Scalenum eiusdem generis capiet octona- rius septem interpositis spacijs, vel linea quatu- ordecim si distet 4. spacijs, nam ex vtriusuis in al- terum ductu, assurgit area 56. Amblygonium aequicrurium capiet linea 16. distantia 12. spaciorum, aut 32. distantia sex. Scalenum Amblygonium capient 21. distan- tia quatuor. Orthogonium aequicrurium capient vel octo distantia 4. vel quatuor dista_tia octo spaciorum. Scalenum Orthogonium capiet septenarius septem interpositis spacijs, per numeru_ vero` basi aequalem, quae est 14. non capietur, quia quorum cathetus vel basis impari numero constat, qui in duo aequalia non potest diuidi eorum dimensio [Page 43.] vnica tantum ratione perficitur. Non admodum diuersa ratione capitur qua- dratus. Admouenda est linea vni laterum aequa- lis, relicta distantia tot spaciorum quot consti- tuunt illud latus. Sic linea 15. distantia quinde- cim capit quadratum. Quadrangulum rectangulum linea 60. di- stantia 36. Rhombum aut Rho_boidem capit linea per- pendiculari aequalis, distantia lateris in quod cadit perpendiculum: Vel linea lateri aequalis distantia perpendiculi. Sic Rhombum metitur linea 9. distantia 10. vel linea 10. distantia 9. Rhomboidem metitur linea 7. distantia 10. vel linea 10. distantia 7. Multorum laterum figuras metitur linea vel numerus aequalis dimidio perimetriae ad distan- tiam perpendiculi, siue catheti qui ducitur a` centro ad medium vnius laterum. Nisi quod Pe_- tagonum nostrum propter numeros fractos, non facile est ad hunc modum capere, quare aequa- litate contenti erimus. Hexagonum metitur linea 48. distantia 14. hic numerus cathetu_, ille dimidium perimetriae exaequat. Heptagoni dimidium perimetriae exaequat [Page 44.] linea 42. quae distantia 9. ipsum capiet. Octogonum capit linea 40. aequalis dimidio perimetriae, distantia catheto aequalis erit 12. Polygonum metitur linea 60. hoc est enim dimidium perimetriae, distabit autem 19. spacijs Polygono quia tanta est catheti mensura. Ex his quorum perimetriae dimidium intra numerum spaciorum tabulae lusoriae continetur, non secus ac trianguli, vel per lineam Hemipe- ripheriae vel catheti capi possunt. Quorum ve- ro` longitudo numeros spaciorum excedit, sola catheti distantia capientur. Sequitur mensura earum quae ex curuis li- neis componuntur & primum circuli. Circulum metitur linea aequalis dimidio cir- cumferentiae, hoc est 66. distantia 21. quae sunt dimidium diametri. Semicirculum linea 7. aequalis semidiametro distantia 11. quae sunt dimidium arcus. Arcum, cuius chorda est 20. segmentum cir- culi 22. metitur linea 10. distantia 11. Rhombum curuilineam linea 22. alteri pe- ripheriae aequalis distantia decem, quae sunt di- midium chordae. Capiuntur sequestres copiae, quae ex solidis contrahuntur corporibus, cum tales figurae ad- [Page 45.] mouentur, quae in se solidorum mensuram pote- state continent, ad hunc qui sequitur modum. Prisma triangulare capitur per superficiem 15 18/31 & lineam 5. ea vtriusq; distantia, vt in lo- cum prismatis si vacuus esset, vtraq; figura mo- uere posset. Eiusdem basis ac altitudinis pyramis per ean- dem superficiem ac lineam qua prisma, sed di- stantia erit trium spaciorum quia pyramis est tertia pars prismatis vel columnae. Pyramis basi Octaedri 15 18/31 per eandem su- perficiem ac lineam 2 1/5 trium distantia spacio- rum. Pyramis basi quadrati capitur cum tribus ab ea spacijs distant superficies basi aequalis & linea par altitudini perpendiculari. Nempe si vel quadratus, vel cubus, vel quod- uis aliud schema in quo est superficies 225. & li- nea 15. quarto ab Pyramide spacio collocentur. Trium enim distantia spacioru_ significat aream basis in tertiam partem altitudinis multiplicari vt solidum Pyramidis teneatur. Quare & alia est pyramidis capiendae via, videlicet, vt ad super- ficiem areae basis aequalem accedat linea par tertiae parti altitudinis, si inter copias reperiatur. Tum vero` distantia a` corpore capiendo ea erit, [Page 46.] vt vtriq; schemati liceret in pyramidis locum se mouere si vacuus esset. Columna basi qua- drangula requirit ad se capiendam superficiem 2160. & lineam 40. Pyramis eiusdem basis, eandem superficiem ac lineam sed spaciorum trium distantia. Rhombus cubicus capitur per superficiem 90. & lineam 10. propria distantia vtriusq; figurae qua solet progredi. Rhombi Pyramis per eandem superficiem & lineam distantia trium spaciorum. Columna basi Rhombi capitur per superfi- ciem basi aequalem, nempe 90. & lineam altitu- dinis nempe 60. Rhomboides cubicus eode_ modo per super- ficiem 70. & lineam 60. Distantia vt in omnibus columnis est tot spaciorum quot mouentur fi- gurae quae aduersus illas pugnant. Pyramis eiusde_ basis capitur per superficiem 70. & lineam 21. trium spaciorum distantia, vel aliter per eandem superficie_ & lineam 7. quae est tertia pars altitudinis perpe_dicularis 21. erit au- tem dista_tia quae solet esse in colu_nis capiendis. Columna basi Rhomboidis capitur per su- perficiem 70. & lineam 36. quae est eius altitudi- ni respondens. [Page 47.] Columna basi pentagoni capitur per superfi- ciem 60. quae est aequalis eius basi, & lineam 15. aequalem altitudini. Pyramis eiusdem basis ac altitudinis per ean- dem superficiem & lineam tribus tribus spacijs di- stantes. Columna basi Hexadona per superficie_ 672. & lineam 48. Eiusdem basis ac altitudinis pyramis per ean- dem superficiem ac lineam, distantia trium spa- ciorum, vel sine hac distantia per eandem super- ficie_ & lineam 16. quae est tertia pars altitudinis. Septem laterum columna capitur per super- ficiem 378. & lineam 42. Eiusdem basis ac altitudinis Pyramis per ean- dem superficiem & lineam, sed trium spaciorum distantia, vel aliter distantia propria vtriusq; fi- gurae per superficiem 378. & lineam 14. quae est tertia pars altitudinis 42. Octo laterum columna capitur per superfi- ciem 480. & lineam 36. Eiusdem basis & altitudinis Pyramis vel per easdem figuras tribus spacijs distantes, vel per eandem superficiem & lineam 12. quae est tertia pars altitudinis 36. Viginti laterum columna quam Polygoniam [Page 48.] vocamus, capitur per superficiem 1140. & li- neam 60. Pyramis eiusdem basis ac altitudinis, vel per eandem superficiem ac lineam & differentiam trium spaciorum, vel per eandem superficiem & lineam 20. quae est tertia pars altitudinis eius quae est 60. Cylindrus capitur eodem modo quo reliquae columnae, hoc est per superficiem basi aequalem 1386. & lineam parem longitudini 48. Similiter Pyramidum legem seruat & conus, vt capiatur vel per superficiem & lineam ean- dem qua Cylindrus, trium spaciorum distantia, vel per superficiem eandem & lineam 16. quae tertia pars est longitudinis 48. Rhombus rotundus capitur per Conum & Cylindrum trium spaciorum distantia, quia Cy- lindrus complectitur Rhombum rotundum & tertiam eius partem, quae per Conum quae est tertia pars Cylindri & trium spaciorum distan- tiam auderenda a` Cylindro significatur. Aliter capitur per superficiem 1386. & 32. cum ex al- terius horum numerorum in alterum ductu pro- uenit tota Rhombi rotundi capacitas 44352. Rhombus oualis capitur per Cylindrum & Conum, distantia vtrique propria, horum enim [Page 49.] numeri additi, efficiunt totum Rhombi oualis corpus. Rursum per conum & numerum quater- narium, nam quadruplus est Rhombus oualis ad conum. Globus capitur cum intra duo spacia admo- uetur schema aliquod habens lineam aequalem diametro, & aliud intra tria spacia habens su- perficiem areae maximi circuli. Spacia duo & tria significant duo tertia numeri producti ex multiplicatu circuli in diametrum. Tetraedron capitur more Pyramidum per superficiem basi, & lineam altitudini aequalem trium distantia spaciorum. Hexaedron more Columnarum per super- ficiem basi & lineam lateri aequalem propria v- triusq; schematis distantia. Octaedron vero` capitur per Pyramidem suae basis, & numerum octonarium propria vtriusq; figurae distantia, quia octo tales Pyramides co_- plectitur. Dodecaedron etiam capitur per Pyramidem pentagonum suae basis, & duodenarium nume- rum. Duodecim namq; huiusmodi Pyramides continet Dodecaedron. Icosaedron ite_ capitur per suam Pyramidem & vicenarium numerum, quia viginti comple- [Page 50.] ctitur Pyramides. Dolia farinae pro annona sunt vnius mensu- rae, quorum maximi circuli area quae sunt cras- sissima, continet 32. minoris vero` 16. longitudo 20. Ad haec capienda quaerenda est media pro- portionalis area, quam hoc modo inuestigabis, quemadmodum in capiendis bombardis ad pri- mum dolium intercipiendum. Admoueantur tres figurae, intra duo singulae spacia, quarum prima numerum habeat 16. quae est maioris a` minori superficie differentia. Secu_ da 8. quod est dimidium differentiae. Tertia fi- gura ostendat numerum 40. qui assurgit ex ad- ditione dimidij differentiae & minoris areae, cu- ius medietas 20. vera basis est huius dolij, quae ducta in 20. longitudinem, procreat 400. quae est tota vasis capacitas. Post primum hoc sudore captum caetera facilius vel per bis 20. vel per 10. ducta in 40. eripies hosti. Pons interruptus hoc modo reficitur signo ex aduersa ripa statute vnus asser in recta linea ex citereriori ad dextra alius a` sinistra colloce- tur, tertius legitimo progressu ad concursum moueatur. Quod si assequitur transitum porte [?] coniunxit. Primos asseres admotos [?] locis suis, ad- uersarius admonitus non auferet tertium ne po- [Page 51.] natur vel capiendo, vel obsidendo, vel locum occupando si possit impediat. DE CASTRORVM EXPVGNATIONE. Castra expugnatur, vel tormentorum vi deiectis turribus, cum milites irrumpunt, vel intra primum vel etiam secundum, & tertium murum, qua deiectae sunt turres, & ne- mo hostium sit qui pectore additum prohibeat. Vel scalis cum proximus admotae scalae miles, murum transcendit. Miles autem scalam ne as- cendat, nisi deiecta turre quae latus illud muri ab accessu muniebat. Vel famae, cum interceptus sit, aut igne corruptus commeatus, si omnis nul- la erit oppugnatio. Si omnis integer in castra conuehi possit, ad quadraginta progressus quasi ad totidem dies se tuebuntur hostes, si tria tan- tum dolia, ad triginta, si duo ad viginti, si vni- cum ad decem. Verum ante Imperatorem cap- tum comeatum diripi aut incendi nolumus. Bel- li finis erit cum dux aut miles in speculum vel speculae locum victricia signa intulerit. FINIS.